线性代数是考研数学中的重要组成部分，其考点涵盖了矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等多个方面。本文将详细介绍考研数学线性代数的主要考点，帮助考生系统复习，提高备考效率。
一、矩阵
1. 矩阵的定义与基本运算
- 矩阵的定义：二维数组，由行和列组成。
- 矩阵的基本运算：加法、减法、数乘、乘法。
2. 矩阵的秩与逆矩阵
- 矩阵的秩：矩阵中非零行的最大数量。
- 逆矩阵：满足乘积为单位矩阵的矩阵。
3. 矩阵的分块与转置
- 矩阵的分块：将矩阵分成若干块，便于计算。
- 矩阵的转置：将矩阵的行与列交换位置。
二、向量
1. 向量的定义与基本运算
- 向量的定义：具有大小和方向的量。
- 向量的大小：向量的模。
- 向量的加法与减法：同向与反向。
- 向量的数乘：改变向量的大小，不改变方向。
2. 向量组与线性相关性
- 向量组：一组向量的集合。
- 线性相关性：向量组中至少存在一个非零向量可以由其他向量线性表示。
三、线性方程组
1. 高斯消元法
- 高斯消元法：将线性方程组转化为上三角形式或下三角形式，求解系数矩阵的逆矩阵，进而求解方程组。
2. 克莱姆法则
- 克莱姆法则：求解线性方程组的一种方法，通过计算行列式和代数余子式，得到方程组的解。
四、特征值与特征向量
1. 特征值与特征向量的定义
- 特征值：矩阵对某一向量的作用，使得该向量变为其标量倍。
- 特征向量：使矩阵对某一向量作用的标量倍等于该向量的向量。
2. 特征值与特征向量的计算
- 计算特征值：通过求解特征方程，得到矩阵的特征值。
- 计算特征向量：将特征值代入特征方程，求解得到对应的特征向量。
五、二次型
1. 二次型的定义与标准型
- 二次型：由二次多项式构成的函数。
- 二次型的标准型：将二次型表示为矩阵的形式，便于计算。
2. 二次型的正定性、负定性和不定性
- 正定性：二次型对应的矩阵为正定矩阵。
- 负定性：二次型对应的矩阵为负定矩阵。
- 不定性：二次型对应的矩阵为非正定非负定矩阵。
